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과학의 언어 ‘수’에 인간의 온기를 입히다
 
서명 : 수, 과학의 언어
글쓴이 : 조용승 국가수리과학연구소 소장
저/역자 : 토비아스 단치히 엮음 _ 조지프 마주르 / 권혜승
출판사 : 한승
2008-01-10 / 470쪽 / 17,500원
토비아스 단치히의 『수, 과학의 언어Number, The Language of Science』는 수학에 관한 책, 특히 수에 관한 고전적인 탐구서로 평가받는 책이다. 1930년에 초판이 나왔고, 1953년에 출간된 4판은 원저에 나오는 조금 부정확한 사실이나 최근의 수학적 성과를 반영하여 나온 첫 번째 개정판이다. 이번 2008년에 한승출판사에서 출간된 한국어 번역판은 4판에 근거하였고, 번역자인 권혜승 박사는 서울대학교 수학과에서 학사와 석사과정을 마쳤으며 스탠퍼드대학에서 박사학위를 받은 수학자이다. 하버드대학 배리 마주르 교수가 서문을 썼고, 말보로대학의 수학과 교수 조지프 마주르가 후기와 주석, 참고문헌을 첨가하여 편집하였다.
이 책의 지은이 토비아스 단치히Tobias Dantzig는 1884년 발트해 연안 라트비아에서 태어났다. 그는 파리에서 위상수학의 대가인 앙리 푸앵카레 아래서 공부했고, 1910년 미국으로 이주해 1916년 인디애나대학에서 수학박사학위를 받았고, 존스홉킨스대학, 콜롬비아대학, 메릴랜드대학에서 가르쳤다. 그리고 ‘선형계획법의 아버지’로 불리는 미국의 저명한 수학자 조지 단치히의 아버지이다. 토비아스 단치히는 1956년 사망했다.

이 책은 ‘수가 어떻게 발전해 왔을까?’에 대해 진지하고 신중하게 그 해답을 추적해 가고 있다. 수 개념의 진화는 인간 문화사와 밀접히 연관되어 있으며, 어떻게 지식에 대한 갈구가 문명세계의 흥망성쇠를 초월하는지를 탐구하면서, 보다 구체적으로 ‘수, 그리고 수학이 어떻게 발전해 왔는지’를 진지하게 밝히고 있다. 비전문가도 이해할 수 있는 쉬운 언어로 이러한 논의를 써내려간 점은 이 책이 오랫동안 많은 이들에게 읽혀지고 있는 이유이다. 선사시대 사람들의 원시적인 수학 능력에서부터 현대 수학에서 나오는 직관에 반하는 괴상한 아이디어들까지 수학에 관한 이야기를 그 가장 핵심이 되는 개념인 수의 역사를 통해 풀어나간 책이다.

『수, 과학의 언어』는 수학의 세계를 잘 알지 못한 사람들에게는 수학의 세계로 향하는 길을 열어주며, 수학의 토대에 관해 쉽게 설명하면서 심오한 철학적 질문들을 던진다. 단치히는 정수, 소수, 무리수, 초월수 등 모든 종류의 수의 성질에 관해 자세히 설명한다. 이 책은 ‘뚜렷한 흔적, 빈 칸, 수에 관한 이야기, 마지막 수, 기호, 입 밖에 낼 수 없는 것, 흐르는 세상, 생성의 예술, 빈틈 메우기, 수 집합, 무한에 관한 분석, 두 가지 현실’ 등의 장으로 구성되어 있다. 독자들이 관심을 가져야 할 것은 이 책은 수의 진화를 심원한 인간의 이야기로 다루고 있지, 수의 역사에 관한 책은 아니다 라는 점이다. 각 장별로 독자들이 유념하여 읽을 내용을 요점 정리해본다.

제1장 뚜렷한 흔적(Fingerprints)
수 언어는 얼마나 오래되었으며 수 단어가 언제 정확히 시작되었는지 정확하게 짚어내기는 불가능하지만, 수천 년도 더 된 선사시대부터라는 증거가 있다. 수 언어의 구조에 관한 언어학자들의 연구는 그것이 거의 전 세계적으로 동일하다는 점을 밝혔다. 열 손가락을 이용한 십진법은 전 세계에 널리 퍼져있고, 오진법 그리고 이십진법도 손가락을 이용한 수 언어의 흔적으로 본다.

제2장 빈칸(The Empty Column)
숫자의 체계적인 사용을 보여주는 가장 오래된 기록은 기원전 3,500 년경으로 올라가 고대 수메르인과 이집트인에게서 볼 수 있다. 막대기 부신에 금액을 새기는 기수를 이용한 수 표기법이 자연스럽게 생겼다고 본다. 영국에서는 재무부 회계를 부신이라 불리는 느릅나무 조각에 단위별 파운드를 새겨 사용했는데 1826년에 모두 없어질 때까지 오래 사용하였다. 인류의 삶에 지대한 영향을 미친 위대한 발견인 주판의 빈칸을 위한 기호, 즉 문화사에서 ‘영’의 발견은 인류의 가장 위대한 업적 중의 하나이다.

제3장 수에 관한 이야기(Number-lore)
몽테스키외는 인간의 삶은 헛된 희망과 근거 없는 두려움의 연속이라 했다. 희망과 두려움의 존재가 과거에는 별, 돌, 동물, 약초, 단어, 숫자 등 구체적 형태를 띠고서 인간 운명의 징표가 되고 동인이 되었다. 점성술에서 천문학이 나왔고, 연금술에서 화학이 자라났듯이 전조와 미신을 고집하는 수비학numerology이 정수론의 선조이다. 6, 7, 40은 히브리인에게 상징적 숫자였다. 신은 6일 만에 천지를 창조했고, 7대 죄악, 7대 미덕, 7대 성령 등에 나타나며, 40일 동안 밤낮으로 비가 내렸고 40일 내내 모세는 시나이산에서 여호와의 계시를 기다렸다는 등이 이를 말한다. 바빌로니아인과 페르시아인은 60과 60의 배수를 선호한다. 푸앵카레는 종교적인 숫자는 지역에 따라 다르나 3, 7, 10, 13, 40, 60은 특히 여러 지역에서 선호되었다고 했다.
요한계시록에 나오는 짐승의 숫자 666에 대해서는 짐승이 적그리스도를 나타내므로 666은 적그리스도로 해석했다. 완전수란 자기 자신을 제외한 약수의 합, 즉 진약수의 합과 같은 수를 말하는데 그 완전수는 숭배의 대상이었다. 가장 작은 완전수는 6이고 두 번째 완전수는 28인데 이는 창조와 달의 주기와도 일치하며 조물주의 기본이 되는 수로 간주했다.
신은 6이 완전하기 때문에 6일 동안에 모든 것을 창조했다고 보았다. 수에 관한 흥미로운 이야기들이 이 장에서 전개된다.

제4장 마지막 수(The Last Number)
수학을 정밀과학의 모델이자 정확성, 엄밀성, 확고한 확실성의 접합체로 영예를 주는 이유는 무엇일까? 어떤 수가 있으면 반드시 그 다음 수가 있다는 것을 함축적으로 주장한다. 마지막 수는 있는가? 마지막 수는 없다! 세는 과정은 도저히 끝날 수 없기 때문이다. 마지막 수가 없다면 ‘모든 수’라는 것은 무슨 뜻인가? 이처럼 수학의 딜레마는 무한infinity이다. 무한의 개념은 논리나 경험에 의해 강요되지 않고 수학적으로는 필연적인 결과이다.

제5장 기호(Symbols)
자주 쓰이는 어떤 단어는 점차 축약된다. 축약이 기호가 된 것이다. ‘ +, 1’이라는 기호의 역사가 이를 보여주며 표준 기호들의 역사적 변천에 관한 표가 책에 실려있다. 그리스인들은 기호체계 창조에 서툴렀고 비대수적이었다. 기호는 바로 대수학의 본질이다. 문자표기법은 대단히 혁신적으로 수학의 발전에 기여했다. 즉, (a+b)2 = a2 +2ab+b2 과 같은 문자표기가 ‘두 수의 합의 제곱은 각 수의 제곱과 그들의 곱의 두배를 더한 것과 같다’ 보다 편리하고 경제적이다. 프랑스인 프란키스쿠스 비에타Franciscus Vieta가 문자를 이용하여 일반적인 값을 나타내는 공식을 쓰는 방법을 처음으로 개발하였다. 영의 발견이 오늘날의 산술학을 만든 것처럼 문자를 이용한 표기는 대수학의 역사에 새로운 장을 열었다.
제6장 입 밖에 낼 수 없는 것(THe Unutterable)
“임의의 직각삼각형에서 그 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이의 제곱의 합과 같다.” 피타고라스 정리인데 피타고라스는 이를 발견하고 그 우아함에 너무나 압도되어 엄격한 채식주의자였음에도 불구하고 소를 잡아 신에게 감사의 제물로 바쳤다고 한다. 피타고라스 학파에게 있어 “수는 우주를 지배한다.” 식이었고 여기서 수는 자연수 혹은 정수이다. 그런데 정사각형의 대각선 (√2) 은 정수로 나타낼 수 없음을 누가 알아냈다. 대경실색한 그들은 같은 단위(자연수, 정수)로 나타낼 수 없는 것들을 “입 밖에 낼 수 없는 것 the unutterable”이라는 뜻의 “알로곤 Alogon”이라 부르고 피타고라스 학파 이외 외부인에게 이 존재를 누설치 않기로 맹세했다. 그러나 1세기가 지나기도 전에 √2 같은 무리수의 존재는 알려졌고 피타고라스주의의 쇠락을 나타냈다.

제7장 흐르는 세상(This Flowing World)
아리스토텔레스가 『자연학』에 기록한 네 가지 역설, 즉 이분법의 역설, 아킬레스와 거북의 역설, 화살의 역설, 경기장의 역설을 기억할 것이다. 운동은 위치와 시간 간의 대응관계라고 볼 때 공간이 연속된 무한히 많은 점으로 구성되어 있는 것처럼 시간도 단지 연속된 순간의 무한한 집합으로 볼 수 있는가? 날아가는 화살을 생각해보자. 임의의 순간 화살촉은 그 경로상의 한 점을 차지하고 있다. 한 위치를 차지하고 있다면 한 순간 그 자리에 멈추어 있어야 한다. 그렇다면 어떻게 한 점이 움직이지 않으면서 동시에 움직이고 있을 수 있단 말인가? 수학적 운동은 정지상태의 무한한 연속일 뿐이다.
제8장 생성의 예술(The Art of Becoming)
무한 과정의 초기 역사의 소개와 더불어 무한의 완전무결한 속성에 대해 이야기하고 있다. 급수, 분수, 수열에서 수렴과 극한이라는 아이디어의 발생에 대해서도 말한다.

제9장 빈틈 메우기(Filing the Gaps)
선 위의 임의의 점에 실수를 하나 대응시키는 것은 가능하다. 그리고 역으로, 임의의 실수는 선 위의 한 점으로 유일하게 나타날 수 있다. 유명한 데데킨트-칸토어 공리이다. 이 공리는 기하학을 산술화하는 것과 같다. 이 공리는 해석학을 기하학으로부터 해방시켜줬으며 이제부터는 해석학이 기하학과 역학에 지배력을 갖게 됨을 암시한다.

제10장 수 집합(The Domain of Number)
지식은 시행착오를 거치면서, 암중모색과 실패를 거치면서 진보해왔다. 수학의 진보는 논리적 연속성에 기초하고 있지 역사적 순서에 기초를 두고 있지 않다. 수학의 역사에서 복소수 개념의 진화 또한 발전의 흔적이다. 수학이 가져다준 이익은 널리 펴져있기 때문에 명확히 드러나지 않아서, 기하학이나 미적분학을 공부하는 것이 사람을 행복하게 만드는데 별 기여를 하지 않는다고 알고 있다. 그러나 수학의 풍요로운 성과는 뛰어난 발명일 뿐 아니라 우리의 일상생활 깊숙이 파고들어 있다. 데카르트 좌표계도 그 중 하나이다. 데카르트의 발명은 해석기하학의 한 분야를 형성하고 추후 뉴턴, 라이프니치, 오일러, 베르누이 등에게 강력한 무기를 제공했다.
제11장 무한에 관한 분석(The Anatomy of the Infinite)
칸토어는 “수학의 본질은 자유로움이다.”라고 했다. 무한집합의 크기를 측정한다는 것 자체가 이상하지만, 칸토어는 무한을 유한한 수학적 대상으로 다루어 1883년 <선형집합에 관하여>라는 논문을 써서 현대집합론의 시조가 되었다. 수학에서 부분은 전체와 같은 파워를 가질 수 있다고 본다.

제12장 두 가지 현실(The Two Realities)
지금까지는 과거의 수에 관한 이야기를 펼쳤다면, 마지막 장에서는 수의 개념과 현실의 관계를 다룬다. 무한이라는 아이디어만큼 인간의 지성을 그렇게 풍요롭게 자극하지 못했다. 그러나 무한만큼이나 분명하게 해야 할 필요성이 있는 개념도 없다. 무한의 본질은 무엇일까? 자연과 물질에서 우리가 처음 느끼는 인상은 연속이다. 자연은 어떤 비약도 일으키지 않는 특성으로 우리는 인식하고 있다. 자연에서 무한의 문제와 봉착하는 두 번째 장소는 우주를 총체적으로 생각할 때이다.
지금까지 우주의 무한함을 의심하는 사람은 거의 없었다. 그러나 아인슈타인을 위시한 천체물리학자들은 실험과 자연법칙의 응용에 의해 우주의 유한함을 증명하려 애쓰고 있으며 이 우주는 타원형이라고 결론지었다. 유클리드 기하학은 무한한 공간을 가져온다. 그러나 무한을 사용함으로써 힘을 얻는 원리와 방법이 현실에서 폐기될지도 모른다. 문제를 구체화하고 분석하는 데 극한과 함수, 즉 수의 개념을 자신 있게 적용해 왔던 자연과학이 새로운 방향으로 전환해야 할지도 모르겠다. 그러나 수학적 개념의 타당성을 결정할 수 있는 것은 직접적인 증거도 논리의 법칙도 아니다. 문제는 그 개념이 인류의 지적인 삶을 얼마나 보존하고 발전시킬 수 있는가이다. 그동안 무한이라는 개념을 포함하여 수학적 직관은 인류의 지적인 유산을 풍요롭게 하고 있다.

끝까지 이 책을 읽다보면 그 동안 수학시간에만 사용한 수의 이름들인 정수, 자연수, 소수, 완전수, 무리수, 유리수, 초월수, 복소수 등이 이 세상에 살아나와 함께 움직이는 듯한 생명체로 여겨진다. 그리고 우리가 아무 생각 없이 날마다 사용하고 있는 ‘수’라는 개념이 어찌 보면 신이 세상에 만들어 놓은 가장 완벽한 개념이며 최고의 구조물이라는 생각이 든다.
앙상하고 삭막하게 여겼던 수라는 과학의 언어에 인간의 따뜻한 온기와 인류문화의 찬란한 의상을 입혀준 책이다. 고등학교 수학 교육을 받은 사람이면 이해할 수 있는 수학적 지식으로 수의 발명과 발전을 통해서 인류의 지적 변천사를 한번 훑어볼 수 있는 기회를 주는 책이다.